Question

【題目】對一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同而構(gòu)造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結(jié)合二項(xiàng)式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.

（1）根據(jù)恒等式兩邊的系數(shù)相同直接寫出一個恒等式，其中；

（2）設(shè)，利用上述恒等式證明：.

Answer 1

【答案】（1），其中；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，左右兩邊分別表示出的系數(shù)即可.

（2）證明左邊等于右邊，用上，，，（1）的結(jié)果以及逐步推證即可.

解：（1），

等式左邊的系數(shù)為，

右邊的系數(shù)這樣產(chǎn)生：

中的1與中的的系數(shù)的的積，即，

中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，

中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，

中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，

中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，

所以.

（2）當(dāng)，且時(shí)，，

由（1）得

左邊=，

，

，

，

右邊，

所以.