【題目】如圖,三棱錐中,平面平面,,,點,分別是棱,的中點,點是的重心.
(1)證明:平面;
(2)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)三角形重心性質(zhì)可得,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得,再根據(jù)線面平行判定定理得平面,平面,最后根據(jù)面面平行判定定理以及性質(zhì)得結(jié)果;
(2)先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面,確定與平面所成的角,再根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點坐標(biāo),利用向量數(shù)量積得各面法向量,最后根據(jù)向量夾角公式得法向量夾角,即得二面角所成角.
(1)連接,連接并延長交于點,則點為的中點,
從而點,,分別是棱,,的中點,
∴,.
又,平面,,平面,
∴平面,平面.
又,平面,,
∴平面平面,
又平面,
∴平面.
(2)連接,∵,是的中點,∴,
∵平面平面,平面平面,
平面,平面.
連接并延長交于點,則為的中點,
連接,則,∴平面.
∴為與平面所成的角,即.
在中,設(shè),則,,∴,.
∴,,,
∴,即,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,.
∴,,
設(shè)平面的一個法向量為,
則,可取,
又平面的一個法向量為,
則,
所以二面角的余弦值為.
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【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點,直線與曲線交于兩點,求的值.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.且曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點的極坐標(biāo)為,直線與曲線交于兩點,求的值
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【題目】某校數(shù)學(xué)老師任教的班級有50名學(xué)生,某次單元測驗成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間為,,,,,
(1)求圖中的值;
(2)從成績不低于80分的同學(xué)中隨機選取3人,該3人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)記為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】“干支紀(jì)年法”是中國歷法自古以來就使用的紀(jì)年方法,甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸為十天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為十二地支.“干支紀(jì)年法”是以一個天干和一個地支按上述順序相配排列起來,天干在前,地支在后,已知2017年是丁酉年,2018年是戊戌年,2019年是已亥年,依此類推,則2080年是____________年.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面底面,,分別為,中點,.
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一點,使平面?若存在,指出點的位置;若不存在,說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓上,焦點為,圓O的直徑為.
(1)求橢圓C及圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P,且直線l與橢圓C交于兩點.記 的面積為,證明:.
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【題目】如圖,三棱錐中,平面平面,,,點,分別是棱,的中點,點是的重心.
(1)證明:平面;
(2)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若,且方程在區(qū)間內(nèi)有解,求實數(shù)的取值范圍.
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