【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓上,焦點為,圓O的直徑為.
(1)求橢圓C及圓O的標準方程;
(2)設直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P,且直線l與橢圓C交于兩點.記 的面積為,證明:.
【答案】(1),;(2)見解析
【解析】
(1)利用橢圓的性質(zhì)列出方程組,即可得到橢圓C及圓O的標準方程;
(2)利用斜截式設出直線的方程,根據(jù)點到直線的距離公式得到點到直線的距離,將直線的方程代入橢圓,結合韋達定理,得出的長度,利用三角形面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明.
(1)由題意,橢圓C的方程為.
可得,解得
所以橢圓C的方程為.
因為焦點在軸上,
所以橢圓C的焦點為.
所以直徑為的圓O的方程為.
(2)由題意知,直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P,
設直線的斜截式方程為.
因為直線與圓相切,
所以點到直線的距離為.
即.
因為直線與橢圓C相交于兩點,
由,整理得,
設,則
.
因為.
又,
所以.
所以.
又因為,
所以.
因為,
所以
.
設,則,則
.
令.
則.
設
因為在上單調(diào)遞減,
所以.
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列、的前項和分別為和,數(shù)列滿足, ,,等差數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足,求證:,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知O為坐標原點,點,,點B在線段CD上,且,過點作的平行線交于點,設點的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)已知直線與圓相切于點,且與曲線相交于,兩點,的中點為,求三角形面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當且時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,關于的方程有三個不同的實根,求的取值范圍.
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【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.
(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及X的數(shù)學期望;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.
(。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;
(ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計算得,,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,.
用樣本平均數(shù)作為μ的估計值,用樣本標準差s作為σ的估計值,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布,則,,.
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【題目】定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.
(1)已知等比數(shù)列{an}滿足:,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”;
(2)已知數(shù)列{bn}滿足:,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.
①求數(shù)列{bn}的通項公式;
②設m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn},對任意正整數(shù)k,當k≤m時,都有成立,求m的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,.
(1)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當,且時,
(i)若有兩個極值點,,求證:;
(ii)若對任意的,都有成立,求正實數(shù)的最大值.
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