Question

已知函數(shù)f(x)=

1

(1-x)n

+aln(x-1)，其中n∈N^*，a為常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有f（x）≤x-1．

Answer 1

分析：（1）欲求：“當(dāng)n=2時(shí)，f(x)=

1

(1-x)2

+aln(x-1)”的極值，利用導(dǎo)數(shù)，求其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及單調(diào)性進(jìn)行判斷即可；
（2）欲證：“f（x）≤x-1”，令g(x)=x-1-

1

(1-x)n

-ln(x-1)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，只要證明函數(shù)f（x）的最大值是x-1即可．

解答：解：（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞1}，
當(dāng)n=2時(shí)，f(x)=

1

(1-x)2

+aln(x-1)，所以f′(x)=

2-a(1-x)2

(1-x)3

．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0得x1=1+

2 a

＞1，x2=1-

2 a

＜1，
此時(shí)f′(x)=

-a(x-x1)(x-x2)

(1-x)3

．
當(dāng)x∈（1，x₁）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）無(wú)極值．
綜上所述，n=2時(shí)，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=1+

2 a

處取得極小值，極小值為f(1+

2 a

)=

a

2

(1+ln

2

a

)．
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無(wú)極值．
（Ⅱ）證法一：因?yàn)閍=1，所以f(x)=

1

(1-x)n

+ln(x-1)．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
令g(x)=x-1-

1

(1-x)n

-ln(x-1)，
則g′(x)=1+

n

(x-1)n+1

-

1

x-1

=

x-2

x-1

+

n

(x-1)n+1

＞0（x≥2）．
所以當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
又g（2）=0，
因此g(x)=x-1-

1

(x-1)n

-ln(x-1)≥g(2)=0恒成立，
所以f（x）≤x-1成立．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要證f（x）≤x-1，由于

1

(1-x)n

＜0，所以只需證ln（x-1）≤x-1，
令h（x）=x-1-ln（x-1），
則h′(x)=1-

1

x-1

=

x-2

x-1

≥0（x≥2），
所以當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，h（x）=x-1-ln（x-1）單調(diào)遞增，又h（2）=1＞0，
所以當(dāng)x≥2時(shí)，恒有h（x）＞0，即ln（x-1）＜x-1命題成立．
綜上所述，結(jié)論成立．
證法二：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1

(1-x)n

+ln(x-1)．
當(dāng)x≥2時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n，恒有

1

(1-x)n

≤1，
故只需證明1+ln（x-1）≤x-1．
令h（x）=x-1-（1+ln（x-1））=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），
則h′(x)=1-

1

x-1

=

x-2

x-1

，
當(dāng)x≥2時(shí)，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
因此當(dāng)x≥2時(shí)，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立．
故當(dāng)x≥2時(shí)，有

1

(1-x)n

+ln(x-1)≤x-1．
即f（x）≤x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)，以及不等式的證明，同時(shí)考查邏輯推理能力．