Question

已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+

π

3

）+

3

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值及取得最值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到f（x）=2sin（2x+

π

3

），再利用正弦函數(shù)的周期性可求得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）x∈[-

π

4

，

π

6

]⇒2x+

π

3

∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值及取得最值時(shí)x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=4sinx(cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

)+

3

=2sinxcosx-2

3

sin2x+

3

=sin2x+

3

cos2x…（2分）
=2sin(2x+

π

3

)…（4分）
所以T=

2π

2

=π…（7分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="jl1suxl" class="MathJye">-

π

4

≤x≤

π

6

，所以-

π

6

≤2x+

π

3

≤

2π

3

…（9分）
所以-

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，所以-1≤f（x）≤2，當(dāng)2x+

π

3

=-

π

6

，即x=-

π

4

時(shí)，f（x）_min=-1，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時(shí)，f（x）_min=2，…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和的正弦與余弦，考查三角恒等變換的應(yīng)用，化簡(jiǎn)f（x）=2sin（2x+

π

3

）是關(guān)鍵，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．