Question

11．定義在（-1，1）上的減函數(shù)f（x）且滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；從而可得f（x）+f（-x）=0；從而證明為奇函數(shù)，
（2）令${log}_{2}^{x}=t$，則不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，化為不等式f（t-1）+f（t）＜0，即f（t-1）＜-f（t）＜f（-t），f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為-1＜t-1＜-t＜1求解即可，

解答 解：（1）：（Ⅰ）證明：令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；
令y=-x得，f（x）+f（-x）=f（0）=0；
故f（x）為奇函數(shù)；
（2）令${log}_{2}^{x}=t$，則不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0
化為不等式f（t-1）+f（t）＜0，
即f（t-1）＜-f（t）＜f（-t），
∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
∴-1＜t-1＜-t＜1，
解得0＜t＜$\frac{1}{2}$，…（8分）
又${log}_{2}^{x}=t$，所以0＜${log}_{2}^{x}$＜$\frac{1}{2}$
解得，1＜x＜$\sqrt{2}$
所以，不等式的解集為（1，$\sqrt{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性，同時(shí)考查了解抽象函數(shù)不等問(wèn)題，屬于中檔題