Question

8．已知函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）=e^x，且g（0）g'（1）=e，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．若?x∈（0，+∞），使得不等式$g（x）＜\frac{x-m+3}{{\sqrt{x}}}$成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，3）
• C． （3，+∞）
• D． （-∞，4-e）

Answer 1

分析 由g'（x）=e^x，可設(shè)g（x）=e^x+c，再由g（0）g'（1）=e可得g（x）＜$\frac{x-m+3}{\sqrt{x}}$成立，分離出參數(shù)m后可得m＜x-e^x$\sqrt{x}$+3，令h（x）=x-e^x$\sqrt{x}$+3，則問題可轉(zhuǎn)化為：m＜h（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)可求得h（x）_max．

解答 解：∵函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）=e^x，
∴g（x）=e^x+c，
又∵g（0）g'（1）=e，
∴（1+c）e=e⇒c=0，∴g（x）=e^x，
∵?x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜$\frac{x-m+3}{\sqrt{x}}$成立，
∴?x∈（0，+∞），使得m＜x-e^x$\sqrt{x}$+3成立，
令h（x）=x-e^x$\sqrt{x}$+3，則問題可轉(zhuǎn)化為：m＜h（x）_max，
對于h（x）=x-e^x$\sqrt{x}$+3，x∈（0，+∞），
由于h′（x）=1-e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$），
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，
∵e^x＞1，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$≥2 $\sqrt{\sqrt{x}•\frac{1}{2\sqrt{x}}}$=$\sqrt{2}$，
∴e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）＞1，
∴h'（x）＜0，從而h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=3，∴m＜3；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及證明不等式等問題，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生的推理論證能力、分析解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)，能力要求較高．