Question

13．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf'（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（log_πe）f（log_πe），c=-2f（-2），則a，b，c的大小關(guān)系為b＜c＜a．

Answer 1

分析 由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），利用導(dǎo)數(shù)和條件判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由f（x）是奇函數(shù)得出g（x）是偶函數(shù)，再根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性求出a、b和c的大小．

解答 解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴此時g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴g（x）=xf（x）是偶函數(shù)，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則a=3f（3）=g（3），b=（log_πe）•f（log_πe）=g（log_πe），
c=-2f（-2）=g（-2）=g（2），
∵0＜log_πe＜1＜2＜3，
∴g（log_πe）＜g（2）＜g（3），即b＜c＜a，
故答案為：b＜c＜a．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，以及函數(shù)值的大小比較，構(gòu)造函數(shù)法，正確構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．