已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分
【解析】第一問中設為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為
第二問中,設點的坐標為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點.
然后設點,的坐標分別, ,則,
要使被軸平分,只要得到。
(1)設為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為. ………………2分
(2)設點的坐標為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得 ,……5分
∵,∴,
∴直線與曲線總有兩個公共點.(也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設點,的坐標分別, ,則,
要使被軸平分,只要, ………………9分
即,, ………………10分
也就是,,
即,即只要 ………………12分
當時,(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.
所以在x軸上存在定點,使得總能被軸平分
科目:高中數(shù)學 來源:2011屆遼寧省鐵嶺六校高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學理卷 題型:解答題
已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點 任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(1)求曲線的方程;
(2)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分。
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年山東省高三下學期5月高考沖刺文科數(shù)學(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年遼寧省鐵嶺六校高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學理卷 題型:解答題
已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點 任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(1)求曲線的方程;
(2)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本小題共14分)
已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點 任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(1)求曲線的方程;
(2)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分
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