Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

x

-x
（1）若y=log

1

3

[8-f（x）]在[1，+∞]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)a=1，x+y=k，若不等式f(x)•f(y)≥(

k

2

-

2

k

)2對(duì)一切（x，y）∈（0，k）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可得令u（x）=8-f（x）=x-

a

x

+8，原命題等價(jià)于

u(1)＞0 u(x)在[1，+∞]上是增函數(shù)

，解得即可；
（2）由條件f（x）f（y）=（

1

x

-x）（

1

y

-y）=

x2y2-(x2+y2)+1

xy

=

x2y2+2xy-k2+1

xy

=xy+

1-k2

xy

+2，令xy=t，由x+y=k，則t∈（0，

k2

4

]，令g（t）=f（x）f（y）=t+

1-k2

t

+2，t∈（0，

k2

4

]，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（t）的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）令u（x）=8-f（x）=x-

a

x

+8，要使y=log 

1

3

[8-f（x）]在[1，+∞）上是單調(diào)遞減等價(jià)于

u(1)＞0 u(x)在[1，+∞]上是增函數(shù)

由u（1）＞0得1-a+8＞0  a＜9
由u（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
即對(duì)1≤x₁≤x₂＜+∞，u₁（x）-u₂（x）=（x₁-x₂）+

a

x2

-

a

x1

恒成立，
解得a≥-1，所以-1≤a≤9．
（2）由條件f（x）f（y）=（

1

x

-x）（

1

y

-y）=

x2y2-(x2+y2)+1

xy

=

x2y2+2xy-k2+1

xy

=xy+

1-k2

xy

+2，
令xy=t，由x+y=k，則t∈（0，

k2

4

]
令g（t）=f（x）f（y）=t+

1-k2

t

+2，t∈（0，

k2

4

]
當(dāng)1-k²≤0，g（t）單調(diào)遞增，則g（t）_max=

k2

4

+

4(1-k2)

k2

+2=(

k

2

-

2

k

)2，條件不成立．
當(dāng)1-k²＞0，即-1＜k＜1時(shí)，t+

1-k2

t

+2≥2

1-k2

+2，當(dāng)且僅當(dāng)t=

1-k2

取到等號(hào)．
①當(dāng)

k2

4

≤

1-k2

時(shí)，即0≤k≤2

5 -2

時(shí)，g（t）在t∈（0，

k2

4

]上是減函數(shù)，
且g（t）_min=

k2

4

+

4(1-k2)

k2

+2=(

k

2

-

2

k

)2≥（

k

2

-

2

k

）²恒成立，滿足題意，
②當(dāng)

k2

4

＞

1-k2

，即-1＜k＜0或2

5 -2

＜k＜1時(shí)，即則g（

k2

4

）＞g（

1-k2

），即(

k

2

-

2

k

)2＞g(

1-k2)

，不成立．
綜上所述：0≤k≤2

5 -2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．