Question

（2006•東城區(qū)三模）已知數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項和，且a₁=1，S_n+1=4a_n+2，設b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求證：

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

2

3

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=4a_n+2，①得S_n+2=4a_n+1+2，②兩式相減可得遞推式，根據(jù)b_n=a_n+1-2a_n，可得到b_n+1，b_n的關系式，由等比數(shù)列的定義可證，并得通項公式；
（2）由（1）求得通項公式b_n，利用等比數(shù)列求和公式可得

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，根據(jù)和式可得結論；

解答：證明：（1）∵S_n+1=4a_n+2，①∴S_n+2=4a_n+1+2，②
②-①得，a_n+2=S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n）．
則a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）．
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n+1=2b_n．
∵a₁=1，a₁+a₂=S₂=4a₁+2，∴a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3．
∴b_n≠0（n∈N*），∴

bn+1

bn

=2(n∈N*)，
因此數(shù)列{b_n}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．
∴b_n=b₁q^n-1=3•2^n-1；
（2）

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

= 1 3 + 1 3•2 + 1 3•22 +…+ 1 3•2n-1 = 1 3 • 1-( 1 2 )n 1- 1 2 = 2 3 [1-( 1 2 )n]

＜

2

3

．

點評：本題考查等比數(shù)列與不等式的綜合，考查利用遞推式求數(shù)列通項，考查學生分析問題解決問題的能力．