Question

4．某超市在開業(yè)一個(gè)月（30天）內(nèi)日接待顧客人數(shù)（萬(wàn)人）與時(shí)間t （天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足f（t）=1+$\frac{4}{t}$，顧客人均消費(fèi)額（元）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足g（t）=84-|t-20|．
（1）求該超市日銷售額y （萬(wàn)元）與時(shí)間t （天）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求該超市日銷售額的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)日銷售額$y=f（t）•g（t）=（{1+\frac{4}{t}}）（{84-|{t-20}|}）$，得該超市日銷售額y （萬(wàn)元）與時(shí)間t （天）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）因?yàn)間（t）=84-|t-20|中有一個(gè)絕對(duì)值，討論t的取值，1≤t≤20和20＜t≤30兩種情況化簡(jiǎn)得g（t）為分段函數(shù)，第一段運(yùn)用基本不等式求出最值，第二段是一個(gè)遞減的一次函數(shù)求出最值比較即可．

解答 解：（1）由題意可知，日銷售額$y=f（t）•g（t）=（{1+\frac{4}{t}}）（{84-|{t-20}|}）$=$\left\{\begin{array}{l}（{1+\frac{4}{t}}）（{t+64}），1≤t≤20\\（{1+\frac{4}{t}}）（{104-t}），20＜t≤30\end{array}\right.，t∈{N^*}$
（2）①當(dāng)1≤t≤20且t∈N*時(shí)，$y=t+\frac{256}{t}+68≥2\sqrt{t•\frac{256}{t}}+68=100$，
當(dāng)且僅當(dāng)$t=\frac{256}{t}$，即t=16時(shí)取等號(hào)；
②當(dāng)20＜t≤30且t∈N*時(shí)，$y=\frac{416}{t}-t+100$在區(qū)間（20，30]上單調(diào)遞減，
所以t=30時(shí)，${y_{min}}=\frac{1258}{15}$．因?yàn)?100＞\frac{1258}{15}$，
所以綜上，第30天該超市日銷售額最小，最小值為$\frac{1258}{15}$萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況選擇函數(shù)類型的能力，以及基本不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用能力．