Question

14．已知不等式|2x-3|＜x與不等式x²-mx+n＜0的解集相同．
（Ⅰ）求m-n；
（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m-n，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論2x-3≥0或2x-3＜0，求出不等式|2x-3|＜x的解集，得出不等式x²-mx+n＜0的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m、n的值；
（Ⅱ）根據(jù)a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）²的最小值，即可得出a+b+c的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當2x-3≥0，即x≥$\frac{3}{2}$時，不等式|2x-3|＜x可化為2x-3＜x，
解得x＜3，∴$\frac{3}{2}$≤x＜3；
當2x-3＜0，即x＜$\frac{3}{2}$時，不等式|2x-3|＜x可化為3-2x＜x，
解得x＞1，∴1＜x＜$\frac{3}{2}$；
綜上，不等式的解集為{x|1＜x＜3}；
∴不等式x²-mx+n＜0的解集為{x|1＜x＜3}，
∴方程x²-mx+n=0的兩實數(shù)根為1和3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1+3=4}\\{n=1×3=3}\end{array}\right.$，
∴m-n=4-3=1；
（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m-n=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）
≥$\frac{1}{2}$（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）
=3（ab+bc+ca）=3；
∴a+b+c的最小值是$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了解不等式以及根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．