Question

1．已知函數(shù)f（x）=alnx-$\frac{1}{2}$ax²-8
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a＞0，若對?x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，恒有|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)數(shù)，分類討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后推出函數(shù)的單調(diào)性．
（2）不妨設(shè)x₁≤x₂，而a＞0，由（1）知，f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，從而?x₁，x₂∈[2，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|等價于?x₁，x₂∈[2，+∞），2x₁-f（x₁）≥2x₂-f（x₂），令g（x）=2x-f（x），通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=$\frac{a（1+x）（1-x）}{{x}^{2}}$，
若a＜0，0＜x＜1，則f'（x）＜0，此時f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
若a=0，f（x）=-8，函數(shù)無單調(diào)性；
若a＞0，則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增．
（2）不妨設(shè)x₁≤x₂，而a＞0，由（1）知，f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x₁）≤f（x₂）
從而?x₁，x₂∈[2，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|等價于
?x₁，x₂∈[2，+∞），2x₁-f（x₁）≥2x₂-f（x₂）①
令g（x）=2x-f（x），則g′（x）=2+a-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
因此，①等價于g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g′（x）=2+a-$\frac{a}{{x}^{2}}$≤0對?x∈[2，+∞）恒成立，
∴a≤$\frac{2{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$對?x∈[2，+∞）恒成立，
$\frac{2{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$在[2，+∞）上的最小值為=$\frac{8}{3}$．
∴a≤-$\frac{8}{3}$，
故a的取值范圍為（-∞，-$\frac{8}{3}$]．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．