Question

8．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，短軸頂點在圓x²+y²=4上．
（Ⅰ）求橢圓C方程；
（Ⅱ）已知點P（-2，3），若斜率為1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試探究以AB為底邊的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一：設橢圓G的右焦點為F（c，0），由題意可得：b=2，根據橢圓的離心率公式即可求得a的值，由此能求出橢圓G的方程．
方法二：設橢圓G的右焦點為F（c，0），由題意可得：b=c，且b²+c²=8，由此能求出橢圓G的方程．
（Ⅱ）以AB為底的等腰三角形ABP存在．設斜率為1的直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程中，3x²+4mx+2m²-8=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）方法一：設橢圓C的焦點在x軸上，右焦點F（c，0），由題意可得：b=2，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$a=2\sqrt{2}$，
所以，橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；          …（4分）
方法二：設橢圓G的右焦點為F（c，0），
由題意可得：b=c，且b²+c²=8，∴b²=c²=4，
故a²=b²+c²=8，
所以，橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）以AB為底的等腰三角形ABP存在．理由如下：
設斜率為1的直線l的方程為y=x+m，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化簡得：3x²+4mx+2m²-8=0，①…（5分）
因為直線l與橢圓C相交于A，B兩點，則△=16m²-12（2m²-8）＞0，解得-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，②
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{3}$；③
于是AB的中點M（x₀，y₀）滿足${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{2m}{3}，{y_0}={x_0}+m=\frac{m}{3}$；…（8分）
已知點P（-2，3），若以AB為底的等腰三角形ABP存在，
則k_PM=-1，即$\frac{{{y_0}-3}}{{{x_0}+2}}=-1$，④，將M（-$\frac{2m}{3}$，$\frac{m}{3}$） 代入④式，
得$m=-3∈（-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$滿足②…（10分）
此時直線l的方程為y=m-3．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、橢圓性質的合理運用，屬于中檔題．