Question

5．近年來大氣污染防治工作得到各級部門的重視，某企業(yè)現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本y（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x²+（15-4k）x+120k+8，現(xiàn)為了配合環(huán)境衛(wèi)生綜合整治，該企業(yè)引進了除塵設(shè)備，每噸產(chǎn)品除塵費用為k萬元，除塵后當(dāng)日產(chǎn)量x=1時，總成本y=142．
（1）求k的值；
（2）若每噸產(chǎn)品出廠價為48萬元，試求除塵后日產(chǎn)量為多少時，每噸產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （1）求出除塵后的函數(shù)解析式，利用當(dāng)日產(chǎn)量x=1時，總成本y=142，代入計算得k=1；
（2）求出每噸產(chǎn)品的利潤，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）由題意，除塵后y=2x²+（15-4k）x+120k+8+kx=2x²+（15-3k）x+120k+8，
∵當(dāng)日產(chǎn)量x=1時，總成本y=142，代入計算得k=1；
（2）由（1）y=2x²+12x+128，
總利潤L=48x-（2x²+12x+128）=36x-2x²-128，（x＞0）
每噸產(chǎn)品的利潤=$\frac{L}{x}$=36-2（x+$\frac{64}{x}$）≤36-4$\sqrt{x•\frac{64}{x}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{64}{x}$，即x=8時取等號，
∴除塵后日產(chǎn)量為8噸時，每噸產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為4萬元．

點評 本題考查將實際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題