Question

16．已知F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），點(diǎn)M為⊙F₂：（x-4）²+y²=100上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁M的垂直平分線交MF₂于點(diǎn)P．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）求點(diǎn)P到N（3，0）的距離的最值．

Answer 1

分析 （1）|PF₁|+|PF₂|=|PM|+|PF₂|=10＞8=|F₁F₂|，利用橢圓的定義即可判斷出軌跡為橢圓．
（2）設(shè)P（x，y），則|PN|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{25}{x}^{2}-6x+18}$，x∈[-5，5]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）|PF₁|+|PF₂|=|PM|+|PF₂|=10＞8=|F₁F₂|，∴P點(diǎn)的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂，為焦點(diǎn)的橢圓，
a=5，c=4，b=3．
點(diǎn)P的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）設(shè)P（x，y），則|PN|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{25}{x}^{2}-6x+18}$=$\sqrt{\frac{16}{25}（x-\frac{75}{16}）^{2}+\frac{63}{16}}$，
∵x∈[-5，5]，∴|PN|∈$[\frac{3\sqrt{7}}{4}，8]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．