Question

焦點分別為F₁，F(xiàn)₂的橢圓過點M（2，1），拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C的左焦點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）不過M的動直線l交橢圓C于A、B兩點，若•=0，求證：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：

直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

專題：

壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．

分析：

（Ⅰ）由拋物線方程寫出其準(zhǔn)線方程，從而求出橢圓焦點坐標(biāo)，把點M的坐標(biāo)代入橢圓方程后，結(jié)合a²=b²+c²可求橢圓方程；

（Ⅱ）分直線l垂直于坐標(biāo)軸和不垂直坐標(biāo)軸兩種情況進(jìn)行討論，直線垂直坐標(biāo)軸時，把直線方程代入橢圓方程求出A，B的坐標(biāo)，由•=0解出m的值，直線不垂直坐標(biāo)軸時，設(shè)出直線方程的斜截式，和橢圓方程聯(lián)立后由判別式大于0得到直線斜率和在y軸上的截距滿足的關(guān)系式，再由•=0把直線的截距用斜率表示，代回直線方程后由線系方程可得直線恒過定點．

解答：

（Ⅰ）解：由2p=，∴p=，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為．

故，，

∴橢圓方程可化為，又橢圓過點M（2，1），

∴，則a⁴﹣8a²+12=0，

∵a²＞3，解得：a²=6．

∴所求橢圓的方程為．

（Ⅱ）證明：①若直線l⊥x軸，直線l可設(shè)為x=m（m≠2），則直線l與橢圓交于

，，

由，得，

即3m²﹣8m+4=0．

解得：m=2（舍）或，

故直線l的方程為．

②若直線l與x軸不垂直，可設(shè)直線l的方程為y=kx+n．

直線l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

由⇒（1+2k²）x²+4knx+2n²﹣6=0．

由△＞0，得：（4kn）²﹣4（1+2k²）（2n²﹣6）＞0，即6k²﹣n²+3＞0．

由根與系數(shù)關(guān)系得：，．

由得：（x₁﹣2）（x₂﹣2）+（y₁﹣1）（y₂﹣1）=0，

即x₁x₂﹣2（x₁+x₂）+y₁y₂﹣（y₁+y₂）+5=0，

又y₁=kx₁+n，y₂=kx₂+n，

故，

即．

∴4k²+8kn+（3n+1）（n﹣1）=0，即（2k+3n+1）（2k+n﹣1）=0．

∴或n=﹣2k+1．

而或n=﹣2k+1滿足△＞0．

∴直線l為或y=kx﹣2k+1=k（x﹣2）+1．

由于直線l不過M，∴直線y=kx﹣2k+1=k（x﹣2）+1不合題意．

∴直線l為．

綜合①②，直線l為為或．

故直線l恒過定點．

點評：

本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，證明直線l恒過定點時，綜合考查了向量知識、直線系方程及學(xué)生的運算能力，此題屬難題．