Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時，f（x）=2ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$ （a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若a＞-1，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性；
（3）是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）有最大值-6．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（x）=-f（-x）即可得出f（x）在（0，1]上的解析式；
（2）求出f′（x），根據(jù)a和x的范圍判斷f′（x）的符號，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出結(jié)論；
（3）對a進行討論，判斷f（x）在（0，1]山的單調(diào)性，得出最大值，令f_max（x）=-6解出a．

解答 解：（1）設(shè)x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），
∴f（-x）=-2ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$                   
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ax-\frac{1}{{x}^{2}}，0＜x≤1}\\{2ax+\frac{1}{{x}^{2}}，-1≤x＜0}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)x∈（0，1]時，f′（x）=2a+$\frac{2}{{x}^{3}}$=2（a+$\frac{1}{{x}^{3}}$），
∵a＞-1，x∈（0，1]，∴a+$\frac{1}{{x}^{3}}$＞0．即f′（x）＞0．                
∴f（x）在（0，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)．                       
（3）當(dāng)a＞-1時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，f（x）_max=f（1）=2a-1=-6，
∴a=-$\frac{5}{2}$（舍）．
當(dāng)a≤-1時，由f′（x）=0得，x=$\root{3}{-\frac{1}{a}}$．
∴當(dāng)0＜x＜$\root{3}{-\frac{1}{a}}$時，f′（x）＞0，當(dāng)$\root{3}{-\frac{1}{a}}$＜x≤1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，$\root{3}{-\frac{1}{a}}$）上單調(diào)遞增，在（$\root{3}{-\frac{1}{a}}$，1]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\root{3}{-\frac{1}{a}}$時，f（x）在（0，1]上取得最大值f（$\root{3}{-\frac{1}{a}}$）=2a$\root{3}{-\frac{1}{a}}$-$\frac{1}{\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}}}}$=-6，
即2$\root{3}{-{a}^{2}}$-$\root{3}{{a}^{2}}$=-6，
解得：a=-2$\sqrt{2}$或a=2$\sqrt{2}$（舍）．
綜上，存在實數(shù)a=-2$\sqrt{2}$，使得當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）有最大值-6．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與最值計算，屬于中檔題．