Question

【題目】某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個（）一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)一次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為．

（1）的分布列及其期望；

（2）（i）試說明，當(dāng)越大時，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；

（ii）當(dāng)時，求使該方案最合理時的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）分布列詳見解析，期望；（2）（i）詳見解析；（ii）時平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約次．

【解析】

（1）根據(jù)每個（）一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)一次或次，每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)的可能取值為，，再利用獨(dú)立事件和互斥事件求得概率列出分布列，再求期望

（2）（i）由（1）知，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到在上單調(diào)遞減，從而得到結(jié)論. （ii）由（1）記，則由且取最小值時，該方案最合理求解.

（1）由題意，的可能取值為，

，，

故的分布列為

（2）（i）由（1），記，

因?yàn)?/span>．所以在上單調(diào)遞減，

故越大，越小，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少，該方案越合理．

（ii）記，當(dāng)且取最小值時，該方案最合理，

因?yàn)?/span>，，，，．

所以時平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約次．