Question

5．已知O是邊長為1的正三角形ABC的中心，則（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)及向量加法平行四邊形法則、向量數(shù)乘的幾何意義，根據(jù)條件進行向量數(shù)量積的運算即可求出

解答 解：根據(jù)重心的性質(zhì)，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$-2$\overrightarrow{CB}$），
又|$\overrightarrow{CA}$|=|$\overrightarrow{CB}$|=1，∠BCA=60°；
∴（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）（$\overrightarrow{CA}$-2$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{1}{9}$（${\overrightarrow{CA}}^{2}$-$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$-2${\overrightarrow{CB}}^{2}$）=$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{2}$-2）=-$\frac{1}{6}$，
故答案為：-$\frac{1}{6}$．

點評 考查三角形重心的概念及性質(zhì)，等邊三角形的概念，向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，向量數(shù)量積的運算及計算公式．