Question

【題目】已知，．

當時，求的值；

當時，是否存在正整數(shù)n，r，使得、、，依次構成等差數(shù)列？并說明理由；

當時，求的值用m表示．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）.

【解析】

在的二項式定理中，先令得所有項系數(shù)和，再令得常數(shù)項，然后相減即得．

將變成后，利用二項展開式的通項公式可得，再假設存在正整數(shù)n，r滿足題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得，化簡整理，解方程即可判斷存在性；

求得，2，3的代數(shù)式的值，即可得到所求結論．

解：，

，

當時，令和，可得：

，，

故；

當時，假設存在正整數(shù)n，r，使得、、，依次構成等差數(shù)列，

由二項式定理可知，，若、、成等差數(shù)列，則，

即，即，

化簡得，

即為，

若、、成等差數(shù)列，同理可得，

即有，

即為，

化為，

可得，方程無解，

則不存在正整數(shù)n，r，使得、、，依次構成等差數(shù)列；

，

當時，；

當時，；

當時，；

可得時，．