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18.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,BC邊上的高與BC邊長相等,則c+\frac{c}+a2bc的最大值是22

分析 利用余弦定理與三角形的面積公式,化簡\frac{c}+c+a2bc為C的三角函數,通過兩角和的正弦公式化簡函數為一個角的一個三角函數的形式,求出表達式的最大值.

解答 解:在△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,
所以 c+c+a2bc=c2+2+a2bc,
因為a2=c2+b2-2bccosA,
所以:c2+2+a2bc=2a2+2bccosAbc,
△ABC中,BC邊上的高與BC邊的長相等,
所以:12bcsinA=12a2,
即bcsinA=a2,
2a2+2bccosAbc=2bcsinA+2bccosAbc=2sinA+2cosA=22sin(A+\frac{π}{4})≤2\sqrt{2}
\frac{c}+\frac{c}+\frac{{a}^{2}}{bc}的最大值為:2\sqrt{2}
故答案為:2\sqrt{2}

點評 本題考查余弦定理與三角形的面積公式的應用,兩角和的正弦函數的應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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