Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

，求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n∈[

2

3

，1）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程組，求出首項(xiàng)和公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式； 
（2）利用裂項(xiàng)法，即可求T_n=

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

的值．

解答： 解：（1）∵-a₂，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列，
∴2S_n=-a₂+2a_n+1，
當(dāng)n≥2，2S_n-1=-a₂+2a_n，
兩式相減得2a_n=2a_n+1-2a_n，
∴2a_n=a_n+1，即

an+1

an

=2，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=-a₂+2a₂，即a₂=2a₁，滿足

an+1

an

=2，
即數(shù)列{a_n}是公比q=2的等比數(shù)列，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2×2^n-1=2ⁿ； 
（2）b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

2n+1-1-(2n-1)

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
則T_n=

1

2-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1，
∵2ⁿ⁺¹-1≥3，
∴1-

1

2n+1-1

≥1-

1

3

=

2

3

，
即T_n∈[

2

3

，1）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．