Question

13．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：對(duì)任意n∈N^*，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3．
（Ⅰ）證明數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （I）對(duì)任意n∈N^*，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，可得2b_n=a_n+a_n+1，${a}_{n+1}^{2}$=b_n•b_n+1，a_n＞0，a_n+1=$\sqrt{_{n}_{n+1}}$，代入即可證明．
（II）a₁=1，b₁=2，a₂=3．由（I）可得：3²=2b₂，解得：b₂．公差=$\sqrt{_{2}}-\sqrt{_{1}}$．可得$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{2}$×$\frac{n+1}{2}$．b_n代入${a}_{n+1}^{2}$=b_n•b_n+1，a_n+1＞0．可得a_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．即可得出．

解答 （I）證明：∵對(duì)任意n∈N^*，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，${a}_{n+1}^{2}$=b_n•b_n+1，a_n＞0，
∴a_n+1=$\sqrt{_{n}_{n+1}}$，
∴2b_n=$\sqrt{_{n-1}_{n}}$+$\sqrt{_{n}_{n+1}}$，
∴$2\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{_{n-1}}$+$\sqrt{_{n+1}}$．
∴數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}是等差數(shù)列．
（II）解：a₁=1，b₁=2，a₂=3．由（I）可得：3²=2b₂，解得：b₂=$\frac{9}{2}$．
∴公差d=$\sqrt{_{2}}-\sqrt{_{1}}$=$\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n-1）=$\sqrt{2}$×$\frac{n+1}{2}$．
∴b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．
∴${a}_{n+1}^{2}$=b_n•b_n+1=$\frac{（n+1）^{2}}{2}×\frac{（n+2）^{2}}{2}$，a_n+1＞0．
∴a_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∴n≥2時(shí)，a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．n=1時(shí)也成立．
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．n∈N^*．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前n項(xiàng)的和=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．