Question

5．若實數a，b，c，d滿足$\frac{2{a}^{2}-lna}$=$\frac{3c-2}ad5coky$=1，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 由題意可得b=-lna+2a²，d=3c-2．分別令y=f（x）=-lnx+2x²，y=g（x）=3x-2，轉化為兩個函數f（x）與g（x）的點之間的距離的最小值．設與直線y=3x-2平行且與曲線f（x）相切的切點為P（x₀，y₀），求出切點P到直線y=3x-2的距離d，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²．

解答 解：∵實數a，b，c，d滿足$\frac{2{a}^{2}-lna}$=$\frac{3c-2}rykqyqc$=1
可得b=-lna+2a²，d=3c-2，
分別令y=f（x）=-lnx+2x²，y=g（x）=3x-2，
轉化為兩個函數f（x）與g（x）的點之間的距離的最小值，
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+4x，設與直線y=3x-2平行且與曲線f（x）相切的切點為P（x₀，y₀），
則-$\frac{1}{{x}_{0}}$+4x₀=3，x₀＞0，解得x₀=1，可得切點P（1，2），
切點P（1，2）到直線y=3x-2的距離d=$\frac{|3-2-2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²=$\frac{1}{10}$．
故答案為：$\frac{1}{10}$．

點評 本題考查了利用導數研究曲線的切線、平行線之間的斜率關系、點到直線的距離公式、函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．