Question

若拋物線y²=2px上的三點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，則這三點(diǎn)到焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)距離構(gòu)成的數(shù)列是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設(shè)三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列可得到其橫坐標(biāo)也成等差數(shù)列，然后表示出三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，即可得到答案．

解答： 解：設(shè)這三點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）
因?yàn)榭v坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，即 y₁²，y₂²，y₃²成等差數(shù)列，三點(diǎn)縱坐標(biāo)分別代入拋物線方程，
可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)亦成等差數(shù)列．
即2x₂=x₁+x₂，
因?yàn)锳F=x₁+

p

2

，BF=x₂+

p

2

，CF=x₃+

p

2

AF+CF=x₁+x₃+

p

2

+

p

2

=x₁+x₃+p=2x₂+p=2BF
所以2BF=AF+CF
故三點(diǎn)到焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)距離構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列．
故答案為：等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)，即拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．