Question

已知函數(shù)g（x）=

ax

x+1

（a∈R），f（x）=ln（x+1）+g（x）．
（1）若函數(shù)g（x）過點（1，1），求函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）代入點（1，1），求得a=2，求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，即可得到切線方程；
（2）求出f（x）的導數(shù)，對a討論，當a≥0時，當a＜0時，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)g（x）=

ax

x+1

過點（1，1），
則有1=

a

2

，即a=2，
f（x）=ln（x+1）+g（x）=ln（x+1）+

2x

x+1

，
f′（x）=

1

x+1

+

2

(x+1)2

，
則函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線斜率為3，
切點為（0，0），
即有函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=3x；
（2）f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

，
f′（x）=

1

x+1

+

a

(x+1)2

=

x+1+a

(x+1)2

，
由x+1＞0，解得x＞-1，
當a≥0時，x＞-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當a＜0時，x＞-1-a時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當-1＜x＜-1-a時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
綜上可得，當a≥0時，f（x）的增區(qū)間為（-1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的增區(qū)間為（-1-a，+∞），減區(qū)間為（-1，-1-a）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，運用導數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．