Question

16．設(shè)直線3x+4y-5=0與圓C₁：x²+y²=9交于A，B兩點(diǎn)，若圓C₂的圓心在線段AB上，且圓C₂與圓C₁相切，切點(diǎn)在圓C₁的劣弧$\widehat{AB}$上，則圓C₂半徑的最大值是2；此時(shí)C₂C₁所在的直線方程為4x-3y=0．

Answer 1

分析 先根據(jù)圓C₁的方程找出圓心坐標(biāo)與半徑R的值，找出圓C₂的半徑的最大時(shí)的情況：當(dāng)圓c₂的圓心Q為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，圓c₂與圓C₁相切，切點(diǎn)在圓C₁的劣弧$\widehat{AB}$上，設(shè)切點(diǎn)為P，此時(shí)圓C₂的半徑r的最大．求r的方法是，聯(lián)立直線與圓的方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出Q的橫坐標(biāo)，把Q的橫坐標(biāo)代入直線方程即可求出Q的縱坐標(biāo)，得到Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心的距離OQ等于d，然后根據(jù)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減可得圓C₂的半徑最大值．

解答 解：由圓C₁：x²+y²=9，可得圓心O（0，0），半徑R=3，
如圖，當(dāng)圓c₂的圓心Q為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，圓c₂與圓C₁相切，切點(diǎn)在圓C₁的劣弧$\widehat{AB}$上，設(shè)切點(diǎn)為P，此時(shí)圓C₂的半徑r的最大．
聯(lián)立直線與圓的方程得$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，
消去y得到25x²-30x-119=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{6}{5}$，
∴線段AB的中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{5}$，把x=$\frac{3}{5}$代入直線方程中解得y=$\frac{4}{5}$，
∴Q（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），∴兩圓心之間的距離OQ=d=$\sqrt{（\frac{3}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{2}}$=1，
∵兩圓內(nèi)切，所以圓c₂的最大半徑r=R-d=3-1=2．
此時(shí)C₂C₁所在的直線方程為：$\frac{y}{x}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{4}{3}$，即4x-3y=0．
故答案為：2，4x-3y=0．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握兩圓內(nèi)切時(shí)兩半徑所滿足的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．