已知函數(shù)f(x)=
13
x3-4x+4

(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若x∈[0,3],求函數(shù)f(x)的最大值與最小值.
分析:(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段,根據(jù)在各區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性,從而確定出極值點(diǎn),代入原函數(shù)解析式求得極值;
(2)由(1)得出函數(shù)f(x)在[0,3]上的單調(diào)情況,求出端點(diǎn)值,從而得到函數(shù)f(x)的最大值與最小值.
解答:解:(1)由f(x)=
1
3
x3-4x+4
,得f′(x)=x2-4,解得x=±2.
當(dāng)x∈(-∞,-2),x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,
函數(shù)f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上為增函數(shù);
當(dāng)x∈(-2,2)時,f′(x)<0,
函數(shù)f(x)在(-2,2)上為減函數(shù),所以
當(dāng)x=-2時,函數(shù)f(x)有極大值為f(-2)=
1
3
×(-2)3-4×(-2)+4=
28
3

當(dāng)x=2時,函數(shù)f(x)有極小值為f(2)=
1
3
×23-4×2+4=-
4
3
;
(2)由(1)得,f(x)在[0,2]上遞減,在(2,3]上遞增,
又f(0)=4,f(3)=
1
3
×33-4×3+4=1

所以,x∈[0,3]時,函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-
4
3
點(diǎn)評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,關(guān)鍵是由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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