19.設(shè)拋物線Γ:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,4)到焦點(diǎn)F的距離|MF|=54x0.
(1)求拋物線Γ的方程;
(2)過點(diǎn)F的直線l與拋物線T相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線l′與拋物線Γ相交于C,D兩點(diǎn),若→AC•→AD=0,求直線l的方程.
分析 (1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出=x0+p2=54x0,得出M的坐標(biāo),代入拋物線方程求出p即可;
(2)設(shè)l方程為y=k(x-1),設(shè)AB中點(diǎn)P,CD中點(diǎn)Q,聯(lián)立方程組求出|AB|,|PQ|,|CD|,根據(jù)勾股定理列方程解出k.
解答 解:(1)∵|MF|=x0+p2=54x0,∴x0=2p.即M(2p,4).
把M(2p,4)代入拋物線方程得4p2=16,解得p=2.
∴拋物線Γ的方程為y2=4x.
(2)設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
聯(lián)立方程組{y2=4xy=k(x−1),消元得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2k2+4k2,y1+y2=4k.
設(shè)AB的中點(diǎn)為P(k2+2k2,2k).∴|AB|=x1+x2+p=4(k2+1)k2.
∴直線l′的方程為y-2k=-1k(x-k2+2k2),即x=-ky+2k2+3.
聯(lián)立方程組{y2=4xx=−ky+2k2+3,消元得:y2+4ky-4(3+2k2)=0.
設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),則y3+y4=-4k,y3y4=-4(3+2k2).
∴x3+x4=4k4+6k2+4k2,∴CD的中點(diǎn)Q(2k4+3k2+2k2,-2k).
∴|CD|=√1+k2√(y3+y4)2−4y3y4=4(k2+1)√k2+2|k|,|PQ|=2(k2+1)√k2+1|k|,
∵→AC•→AD=0,∴AC⊥AD.∴|AQ|=12|CD|.
∵AB⊥CD,∴|AP|2+|PQ|2=|AQ|2,即14|AB|2+|PQ|2=14|CD|2,
∴16(k2+1)2k4+16(k2+1)3k2=16(k2+1)2(k2+2)k2,
解得k=±1,
∴直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,弦長(zhǎng)公式,屬于中檔題.