Question

15．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=6，S₃=15．
（1）求{a_n}的首項(xiàng)a₁和公差d的值；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：對任意的正整數(shù)n，都有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n²+n）•2ⁿ⁺¹．求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n及前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d和求和公式S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，解方程可得首項(xiàng)和公差；
（2）求得n=1時(shí)，b₁=2；將等式中n換為n-1，兩式相減可得a_nb_n=n（n+3）•2ⁿ，由（1）可得b_n=n•2ⁿ；運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由a₃=6，S₃=15，
可得a₁+2d=6，3a₁+$\frac{3×2}{2}$d=15，
解得a₁=4，d=1；
（2）由（1）可得a_n=4+n-1=n+3，
對任意的正整數(shù)n，都有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n²+n）•2ⁿ⁺¹，
可得n=1時(shí)，a₁b₁=4b₁=8，解得b₁=2；
當(dāng)n＞1時(shí)，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=[（n-1）²+n-1]•2ⁿ，①
a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n²+n）•2ⁿ⁺¹，②
②-①可得a_nb_n=（n²+n）•2ⁿ⁺¹-[（n-1）²+n-1]•2ⁿ=n（n+3）•2ⁿ，
由a_n=n+3，可得b_n=n•2ⁿ；
則T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，③
即有2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，④
③-④，可得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
綜上可得，b_n=n•2ⁿ；T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．