Question

10．函數f（x）=a^x-x³（a＞0，且a≠1）恰好有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． 1＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$
• B． 1＜a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$
• C． 0＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$
• D． e${\;}^{\frac{2}{e}}$＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$

Answer 1

分析 原題意等價于方程a^x=x³恰有兩個不同的解．分類討論結合函數思想求解
當0＜a＜1時，y=a^x與y=x³的圖象只有一個交點，不符合題意．
當a＞1時，y=a^x與y=x³的圖象在x∈（-∞，0）上沒有交點，所以只考慮x＞0，
于是可兩邊同取自然對數，得xlna=3lnx，即lna=$\frac{3lnx}{x}$，構造函數g（x）=$\frac{3lnx}{x}$，求解$g'（x）=\frac{3-3lnx}{x^2}$，
利用導數求解即可．

解答 解：∵f（x）=a^x-x³（a＞0，且a≠1）恰好有兩個不同的零點
∴等價于方程a^x=x³恰有兩個不同的解．
當0＜a＜1時，y=a^x與y=x³的圖象只有一個交點，
不符合題意．
當a＞1時，y=a^x與y=x³的圖象在x∈（-∞，0）上沒有交點，所以只考慮x＞0，
于是可兩邊同取自然對數，得xlna=3lnx，即lna=$\frac{3lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{3lnx}{x}$，則$g'（x）=\frac{3-3lnx}{x^2}$，
當x∈（0，e）時，g（x）單調遞增，
當x＜1時，當g（x）＜0，

x∈（e，+∞）時，g（x）單減且g（x）＞0．
∴要有兩個交點，0＜lna＜g（e）=$\frac{3}{e}$，即1＜a＜${e^{\frac{3}{e}}}$．
故選：A

點評 本題考察了運用函數的性質解決參變量的范圍問題，分類討論，分離參數，構造函數運用導數求解，屬于中檔題．