【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,直線PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC=2AB=2AD=4BE=4.
(I)求證:直線DE⊥平面PAC.
(Ⅱ)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA.又∵AB⊥AD,故可建立建立如圖所示坐標(biāo)系.由已知D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ),(λ>0), =(2,﹣1,0), =(2,4,0), =(0,0,λ),
=4﹣4+0=0, =0.
∴DE⊥AC,DE⊥AP,
∴ED⊥平面PAC.
(Ⅱ)由(Ⅰ),平面PAC的一個(gè)法向量是 , =(2,1,λ).
設(shè)直線PE與平面PAC所成的角為θ,
∴sinθ=|cos |= = ,
解得λ=±2,∵λ>0,∴λ=2,即P(0,0,2).
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為 =(x,y,z), =(2,2,0), =(0,﹣2,﹣2),
,∴ ,取 =(1,﹣1,﹣1).
∴cos = =
顯然二面角A﹣PC﹣D的平面角是銳角,∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值為

【解析】(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD,可得AB⊥PA.又AB⊥AD,可建立建立如圖所示坐標(biāo)系.利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、線面垂直的判定定理即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ),平面PAC的一個(gè)法向量是 , =(2,1,λ).設(shè)直線PE與平面PAC所成的角為θ,可得sinθ=|cos |= ,解得λ.設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為 =(x,y,z), ,可得cos =

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(Ⅰ)證明:CD⊥AG;
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①F(x)=f(x)﹣g(x)在 內(nèi)單調(diào)遞增;
②f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”,且b的最小值為﹣4;
③f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”,且k的取值范圍是(﹣4,0];
④f(x)和h(x)之間存在唯一的“隔離直線”y=2 x﹣e.
其中真命題的個(gè)數(shù)為(請(qǐng)?zhí)钏姓_命題的序號(hào))

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(1)根據(jù)周銷售量圖寫出(件)與單價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)寫出利潤(元)與單價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)該商品的銷售價(jià)格為多少元時(shí),周利潤最大?并求出最大周利潤.

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