Question

12．已知?jiǎng)訄AC與圓C₁：（x-2）²+y²=1外切．又與直線l：x=-1相切
（1）求動(dòng)圓C的圓心的軌跡方程E；
（2）若動(dòng)點(diǎn)M為直線l上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線與曲線E相交干A，B兩點(diǎn)．求證：k_MA+k_MB=2k_MP．

Answer 1

分析 （1）令C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），C₁（2，0），動(dòng)圓得半徑為r，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切得性質(zhì)可得，CC₁=1+r，d=r，CC₁-d=1，化簡(jiǎn)可求．
（2）由題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入拋物線方程，消去x可得y²-8my-8=0，求出相應(yīng)斜率，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）令C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），C₁（2，0），動(dòng)圓得半徑為r，
則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切得性質(zhì)可得，CC₁=1+r，d=r，
C在直線的右側(cè)，故C到定直線的距離是x+1，
所以CC₁-d=1，即$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$-（x+1）=1，
化簡(jiǎn)得：y²=8x．
（2）證明：由題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，
代入拋物線方程，消去x可得y²-8my-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-1，t），
則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8，x₁+x₂=8m²+2，x₁x₂=1，
∴k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}+t}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}+1}$=$\frac{\frac{1}{8}{y}_{1}{y}_{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}+{y}_{2}-t（{x}_{1}+{x}_{2}）-2t}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$=-t，
2k_MP=2•$\frac{t}{-1-1}$=-t，
∴k_MA+k_MB=2k_MP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用，考查斜率的計(jì)算，屬于中檔題．