Question

15．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“乖點”．有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有“乖點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且“乖點”就是對稱中心．”請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，請回答問題：若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，則g（$\frac{1}{2011}$）+g（$\frac{2}{2011}$）+g（$\frac{3}{2011}$）+g（$\frac{4}{2011}$）+…+g（$\frac{2010}{2011}$）=2010．

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導數(shù)可得圖象關于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)g′（x）=x²-x+3，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而g（$\frac{1}{2}$）=1，
故函數(shù)g（x）關于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，
∴g（x）+g（1-x）=2，
故設g（$\frac{1}{2011}$）+g（$\frac{2}{2011}$）+g（$\frac{3}{2011}$）+g（$\frac{4}{2011}$）+…+g（$\frac{2010}{2011}$）=m，
則g（$\frac{2010}{2011}$）+g（$\frac{2009}{2011}$）+…+g（$\frac{1}{2011}$）=m，
兩式相加得2×2010=2m，
則m=2010．
故答案為：2010．

點評 本題主要考查導數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．