【題目】某地要建造一個邊長為2(單位:km)的正方形市民休閑公園OABC,將其中的區(qū)域ODC開挖成一個池塘,如圖建立平面直角坐標(biāo)系后,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2),曲線OD是函數(shù)y=ax2圖象的一部分,對邊OA上一點(diǎn)M在區(qū)域OABD內(nèi)作一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖象,與線段DB交于點(diǎn)N(點(diǎn)N不與點(diǎn)D重合),且線段MN與曲線OD有且只有一個公共點(diǎn)P,四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū):
(1)求證:b=﹣ ;
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,①用t表示M、N兩點(diǎn)坐標(biāo);②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S(t),并求S的最大值.
【答案】
(1)證明:函數(shù)y=ax2過點(diǎn)D(1,2),
代入計算得a=2,
∴y=2x2;
由 ,消去y得2x2﹣kx﹣b=0,
由線段MN與曲線OD有且只有一個公共點(diǎn)P,
得△=(﹣k)2﹣4×2×b=0,
解得b=﹣
(2)解:設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,則P(t,2t2);
①直線MN的方程為y=kx+b,
即y=kx﹣ 過點(diǎn)P,
∴kt﹣ =2t2,
解得k=4t;
y=4tx﹣2t2
令y=0,解得x= ,∴M( ,0);
令y=2,解得x= + ,∴N( + ,2);
②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為
S=S(t)=2×2﹣ ×2×[ +( + )]=4﹣(t+ );
由t+ ≥2 = ,當(dāng)且僅當(dāng)t= ,即t= 時“=”成立,
所以S≤4﹣2 ;即S的最大值是4﹣
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)y=ax2過點(diǎn)D,求出解析式y(tǒng)=2x2;由 ,消去y得△=0即可證明b=﹣ ;(2)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(t,2t2),代入①直線MN的方程,用t表示出直線方程為y=4tx﹣2t2 , 令y=0,求出M的坐標(biāo);令y=2求出N的坐標(biāo); ②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S(t),利用基本不等式求出S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓C的方程為 (θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=m(m∈R).
(I)當(dāng)m=3時,判斷直線l與C的位置關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)C上有且只有一點(diǎn)到直線l的距離等于 時,求C上到直線l距離為2 的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如甲圖所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折起到△D1AE位置,使平面D1AE⊥平面ABCE,得到乙圖所示的四棱錐D1﹣ABCE.
(Ⅰ)求證:BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有以下命題:
①若函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),則f(x)的值域為{0};
②若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(|x|)=f(x);
③若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則f(x)不存在反函數(shù);
④若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)f﹣1(x),且f﹣1(x)與f(x)不完全相同,則f(x)與f﹣1(x)圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上;
其中真命題的序號是 . (寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=9x﹣2a3x+3:
(1)若a=1,x∈[0,1]時,求f(x)的值域;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,1]時,求f(x)的最小值h(a);
(3)是否存在實數(shù)m、n,同時滿足下列條件:①n>m>3;②當(dāng)h(a)的定義域為[m,n]時,其值域為[m2 , n2],若存在,求出m、n的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ex﹣a , g(x)=ln(x+2)﹣4ea﹣x , 其中e為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù)x0 , 使f(x0)﹣g(x0)=3成立,則實數(shù)a的值為( )
A.﹣ln2﹣1
B.﹣1+ln2
C.﹣ln2
D.ln2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+2|﹣|x﹣2|+m(m∈R).
(Ⅰ)若m=1,求不等式f(x)≥0的解集;
(Ⅱ)若方程f(x)=x有三個實根,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ax3﹣xlnx,若x1、x2∈(0,+∞)且x1≠x2 , 不等式(x12﹣x22)(f(x1)﹣f(x2))>0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=2cos (sin ﹣ cos )+ (ω>0)在區(qū)間( ,π)上有且僅有一個零點(diǎn),則實數(shù)ω的范圍為 .
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