Question

11．有兩種規(guī)格的矩形鋼板，甲型的寬度為a，乙型的寬度為2a，長(zhǎng)度可以足夠長(zhǎng)，厚度不計(jì)，現(xiàn)把它們切割后拼接成一個(gè)角形鋼板，焊縫為OM，記∠AOB=θ（0°＜θ＜180°）．
（1）若θ=135°，求tan∠AOM的值
（2）把OM的長(zhǎng)度用θ表示，并求OM的最小值

Answer 1

分析 （1）記∠AOM=x，∠BOM=135°-x，則$\frac{a}{sinx}=\frac{2a}{sin（135°-x）}$，即可求tan∠AOM的值
（2）自M點(diǎn)向邊OA，OB作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則O，M，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，且OM為直徑，求出EF，即可把OM的長(zhǎng)度用θ表示，換元，利用基本不等式求OM的最小值．

解答 解：（1）記∠AOM=x，∠BOM=135°-x，則$\frac{a}{sinx}=\frac{2a}{sin（135°-x）}$，
∴sin（135°-x）=2sinx，
化簡(jiǎn)可得tanx=$\frac{sin135°}{2+cos135°}$=$\frac{2\sqrt{2}+1}{7}$；
（2）自M點(diǎn)向邊OA，OB作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，
則O，M，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，且OM為直徑，
EF=$\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}-2a•2a•cos（180°-θ）}$=a$\sqrt{5+4cosθ}$，
由正弦定理得OM=$\frac{a\sqrt{5+4cosθ}}{sinθ}$．
令t=5+4cosθ（1＜t＜9），則OM=4a$\sqrt{\frac{t}{-{t}^{2}+10t-9}}$=4a$\sqrt{\frac{1}{-（t+\frac{9}{t}）+10}}$≥4a$\sqrt{\frac{1}{-6+10}}$=2a，
當(dāng)t=3，即θ=120°時(shí)等號(hào)成立，故OM_min=2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查直線定理的運(yùn)用，考查基本不等式，屬于中檔題．