Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，且PA=AD=2，$BD=2\sqrt{2}$，E、F分別為AD、PC中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)F到平面PAB的距離；
（2）求證：平面PCE⊥平面PBC；
（3）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）取PB中點(diǎn)G，連接FG、AG，由已知可得底面ABCD為正方形，再由E、F分別為AD、PC中點(diǎn)，可得四邊形AEFG為平行四邊形，得到AG∥FE，由線面平行的判定可得EF∥平面PAB，從而得到點(diǎn)F與點(diǎn)E到平面PAB的距離相等，即距離為EA=1；
（2）由（1）知，AG⊥PB，AG∥EF，再由PA⊥平面ABCD，可得BC⊥PA，由線面垂直的判定可得BC⊥平面PAB，得到BC⊥AG，進(jìn)一步得到AG⊥平面PBC，則EF⊥平面PBC，由面面垂直的判定可得平面PCE⊥平面PBC；
（3）作EM⊥PD于M，連接FM，由CD⊥平面PAD，得CD⊥EM，進(jìn)一步得到EM⊥PC．結(jié)合（2）知，EF⊥平面PBC，即EF⊥PC，可得FM⊥PC，從而得到∠MFE為二面角E-PC-D的平面角或其補(bǔ)角．然后求解三角形可得二面角E-PC-D的大小為30°．

解答 （1）解：如圖，取PB中點(diǎn)G，連接FG、AG，
∵底面ABCD為菱形，且PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$，∴底面ABCD為正方形，
∵E、F分別為AD、PC中點(diǎn)，∴FG∥BC，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}BC$，AE∥BC，AE=$\frac{1}{2}BC$，
則FG∥AE且FG=AE，四邊形AEFG為平行四邊形，故AG∥FE，
∵AG?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB，
∴點(diǎn)F與點(diǎn)E到平面PAB的距離相等，即距離為EA=1；
（2）證明：由（1）知，AG⊥PB，AG∥EF，
∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AB，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AG，又PB∩BC=B，
∴AG⊥平面PBC，則EF⊥平面PBC，
∵EF?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC；
（3）解：作EM⊥PD于M，連接FM，
∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥EM，
∴EM⊥平面PCD，則EM⊥PC．
由（2）知，EF⊥平面PBC，∴EF⊥PC，
又EM∩EF=E，∴PC⊥平面EFM，
∴FM⊥PC，
∴∠MFE為二面角E-PC-D的平面角或其補(bǔ)角．
∵PA=AD=2，∴EF=AG=$\sqrt{2}$，EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴sin∠MEF=$\frac{EM}{EF}=\frac{1}{2}$，則∠MFE=30°．
即二面角E-PC-D的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了二面角的平面角的求法，是中檔題．