Question

【題目】已知函數(shù)，，函數(shù)，記.把函數(shù)的最大值稱為函數(shù)的“線性擬合度”.

（1）設(shè)函數(shù)，，，求此時(shí)函數(shù)的“線性擬合度”；

（2）若函數(shù)，的值域?yàn)?/span>（），，求證：；

（3）設(shè)，，求的值，使得函數(shù)的“線性擬合度”最小，并求出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）當(dāng)時(shí)，.

【解析】

（1）由題意，將和帶入求出的表達(dá)式，求出此時(shí)的最大值即可；
（2）由定義寫(xiě)出的表達(dá)式，以及可能的取值情況，再用絕對(duì)值不等式性質(zhì)即可得到所求；
（3）寫(xiě)出的函數(shù)表達(dá)式，討論的不同取值情況時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，求出其對(duì)應(yīng)的值.

（1），

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，

所以，則在時(shí)單調(diào)遞減，

在時(shí)單調(diào)遞增.

又，，所以函數(shù)對(duì)于函數(shù)的“線性擬合度”；

(2) 根據(jù)定義，，又，

所以，，

于是.

因?yàn)?/span>

所以，即；

（3）,，，

考慮函數(shù)，的值域：

① 當(dāng)時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞增，，

由（2）知，，

當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故最小為；

② 當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞增，，

由（2）知，，

當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故最小為；；

當(dāng)，即時(shí)，，

由（2）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小為；

當(dāng)，即時(shí)，，

由（2）知，；

當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞減，，

由（2）知，.

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.