Question

19．如圖，半圓O的直徑AB長(zhǎng)為2，E是半圓O上除A，B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面垂直于該半圓所在的平面，且$tan∠DBA=\frac{1}{2}$，設(shè)平面ECD與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為F．
（1）求證：EF∥BA；
（2）若EF=1，求三棱錐E-ADF的體積．

Answer 1

分析 （1）證明CD∥BA，推出CD∥半圓O面．然后證明CD∥EF，推出EF∥BA．
（Ⅱ）在Rt△DAB中，求出AD=1，連接OE，OF，利用等體積法通過(guò)V_E-ADF=V_D-AEF求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：∵ABCD是矩形，∴CD∥BA，CD?半圓O面，BA?半圓O面，∴CD∥半圓O面．
又CD?平面CDE且平面CDE∩半圓O面=EF，∴CD∥EF，∴EF∥BA．
（Ⅱ）解：∵矩形ABCD⊥半圓O面，交線是AB，DA⊥AB，∴DA⊥平面AEF．
在Rt△DAB中，$tan∠DBA=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{2}=\frac{1}{2}$，
所以AD=1，連接OE，OF，在△OEF中，OE=OF=EF=1，
∴$點(diǎn)O到EF邊上的高h(yuǎn)=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${S_{△AEF}}=\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
∴${V_{D-AEF}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．
∴${V_{E-ADF}}={V_{D-AEF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，等體積法的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．