Question

3．如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上兩點，且$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$．
（1）若CD∥AB，證明：直線AC平分∠DAB；
（2）作DE⊥AB交AC于E，證明：CD²=AE•AC．

Answer 1

分析 （1）證明：直線AC平分∠DAB，只要證明∠DAC=∠BAC，利用平行線的性質(zhì)及等弧對等角即可；
（2）作DE⊥AB交AC于E，證明：△ADE∽△ACD，即可證明CD²=AE•AC．

解答 證明：（1）∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠BAC，
∴直線AC平分∠DAB；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠DAB=90°，
∵AB為直徑，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵∠ABD=∠DCA，
∴∠ADE=∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD²=AE•AC，
∵AD=DC，
∴CD²=AE•AC．

點評 本題考查平行線的性質(zhì)，考查三角形相似的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．