【題目】如圖,在長(zhǎng)方體中,,,,平面截長(zhǎng)方體得到一個(gè)矩形,且,.
(1)求截面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積之比;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由題意,平面把長(zhǎng)方體分成兩個(gè)高為5的直四棱柱,轉(zhuǎn)化求解體積推出結(jié)果即可.
(2)解法一:作,垂足為,證明,推出平面.通過(guò)計(jì)算求出的值.設(shè)直線與平面所成角為,求解即可.
解法二:建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面一個(gè)法向量,設(shè)直線與平面所成角為,通過(guò)空間向量的數(shù)量積求解即可.
(1)由題意,面α把長(zhǎng)方體分成兩個(gè)高為5的直四棱柱,
,
,
所以,.
(2)解法一:作,足為,題意,
平面,故,
所以平面,因?yàn)?/span>,
,所以,因?yàn)?/span>,
所以.又,
設(shè)直線與平面所成角為,則.
所以,直線與平面所成角的正弦值為.
解法二:以、、所在直線分別為
軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
故,,
設(shè)平面一個(gè)法向量為,
則即,
所以可取.
設(shè)直線與平面所成角為,
則.
所以,直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),且橢圓焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離是1。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓的左右端點(diǎn),為原點(diǎn),是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線分別交軸于,問(wèn)是否為定值,說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中, // , ⊥, ⊥, 點(diǎn)是邊的中點(diǎn), 將△沿折起,使平面⊥平面,連接, , , 得到如
圖所示的空間幾何體.
(Ⅰ)求證: ⊥平面;
(Ⅱ)若,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的定義域恰是不等式的解集,其值域?yàn)?/span>,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域?yàn)?/span>.
(1)求定義域和值域;
(2)試用單調(diào)性的定義法解決問(wèn)題:若存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍并用表示;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使成立?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直棱柱中,是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱上運(yùn)動(dòng).
(1)證明 ;
(2)當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年9月28日中國(guó)女排在世界杯第10輪比賽中,以的比分戰(zhàn)勝塞爾維亞女排,從而在本次女排世界杯中取得10連勝,提前一輪衛(wèi)冕世界杯冠軍.世界杯是單循環(huán)賽制,中國(guó)女排要和11個(gè)對(duì)手輪番對(duì)決,比賽中以或取勝的球隊(duì)積3分,負(fù)隊(duì)積0分,而在比賽中以取勝的球隊(duì)積2分,負(fù)隊(duì)積1分,通過(guò)最終的總積分來(lái)決定最后的名次歸屬.
下某網(wǎng)站上整理了2003年以來(lái)中國(guó)隊(duì)與世界女排強(qiáng)隊(duì)的50場(chǎng)比賽勝負(fù)情況如下表.
(1)現(xiàn)從中國(guó)隊(duì)與美國(guó)女排及俄羅斯女排的比賽視頻中各調(diào)取1場(chǎng)比賽進(jìn)行觀看,求至少有一場(chǎng)是中國(guó)隊(duì)以3:0獲勝的比賽的概率;
(2)若根據(jù)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷:
①求中國(guó)隊(duì)與巴西隊(duì)比賽獲得的積分期望;
②預(yù)測(cè)中國(guó)隊(duì)、巴西、俄羅斯、美國(guó)這四支強(qiáng)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽時(shí)中國(guó)隊(duì)獲得總積分的期望.
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