Question

【題目】已知拋物線過點，其焦點為，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)為軸上異于原點的任意一點，過點作不經(jīng)過原點的兩條直線分別與拋物線和圓相切，切點分別為，求證：三點共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由于,再結(jié)合拋物線過點，求解即可；

（2）設(shè)，直線與拋物線相切，與拋物線聯(lián)立得到，即，由點關(guān)于直線對稱，得到，證明，即得證.

解：（1）拋物線的準線方程為，

∴.

又拋物線過點，

∴，即，

∴，∴，

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設(shè)，已知切線不為軸.設(shè)，聯(lián)立消去，可得.

∵直線與拋物線相切，

∴，即，

代入得，∴，即.

設(shè)切點，則點關(guān)于直線對稱，

則解得即.

當時，直線的斜率，

直線的斜率，∴，即三點共線.

當時，，此時三點共線.

綜上：三點共線.