Question

11．函數(shù)f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$（sin$\frac{ωx}{2}$-$\sqrt{3}$cos$\frac{ωx}{2}$）+$\sqrt{3}$（ω＞0）在區(qū)間（$\frac{π}{3}$，π）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的范圍為（$\frac{1}{3}$，1）∪（$\frac{4}{3}$，3]．

Answer 1

分析 利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；在區(qū)間（$\frac{π}{3}$，π）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，可得$\frac{2π}{ω}$$≥π-\frac{π}{3}$，又因?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{π}{3}）＜0}\\{f（π）＞0}\end{array}\right.$，建立不等式關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)ω的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$（sin$\frac{ωx}{2}$-$\sqrt{3}$cos$\frac{ωx}{2}$）+$\sqrt{3}$（ω＞0）
化簡可得：f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$sin$\frac{ωx}{2}$-2$\sqrt{3}$cos²$\frac{ωx}{2}$$+\sqrt{3}$=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx$-\frac{π}{3}$）．
周期T=$\frac{2π}{ω}$．
∵在區(qū)間（$\frac{π}{3}$，π）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，$\frac{2π}{ω}$$≥π-\frac{π}{3}$，可得ω≤3．
由$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{π}{3}）＜0}\\{f（π）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{sin（ω×\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）＜0}\\{sin（πω-\frac{π}{3}）＞0}\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{ω＜1+3k}\\{ω＞\frac{1}{3}+k}\end{array}\right.$，k∈Z，
∵ω＞0，
當(dāng)k=0時(shí)，可得：$\frac{1}{3}＜ω＜1$，
當(dāng)k=1時(shí)，可得：$\frac{4}{3}＜ω＜4$；
∵ω≤3．
綜上可得實(shí)數(shù)ω的范圍為（$\frac{1}{3}$，1）∪（$\frac{4}{3}$，3]．
故答案為（$\frac{1}{3}$，1）∪（$\frac{4}{3}$，3]．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合性運(yùn)用能力，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔偏難題的題．