Question

7．（1）已知直線l₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，a）、B（a-2，3），直線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，3）、D（-1，a-2），若l₁⊥l₂求a的值？
（2）已知直線l過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）且與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及此時(shí)l的方程？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線l₁和l₂中有一條斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不符合條件．由 k₁k₂=-1，即$\frac{-3-a}{a-5}×\frac{a-5}{-3}$=-1，求得a的值；
（2）由題意設(shè)直線的截距式方程為為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a，b＜0），可得$\frac{-1}{a}+\frac{-2}$=1，由基本不等式可得ab≥8，可得△AOB的面積S≥4，可得此時(shí)直線的方程．

解答 解：當(dāng)a=5時(shí)，直線l₁的斜率不存在，此時(shí)直線l₂的斜率為0，滿足l₁⊥l₂ ．
當(dāng)a≠5時(shí)，由l₁⊥l₂ ，可得 k₁k₂=-1，即$\frac{-3-a}{a-5}×\frac{a-5}{-3}$=-1，化簡(jiǎn)可得 a=-6．
所以l₁⊥l₂，
a的值是-6或5．
（2）由題意設(shè)直線的截距式方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a，b＜0），
∵直線過(guò)P（-1，-2），∴$\frac{-1}{a}+\frac{-2}$=1，
∴1=$\frac{-1}{a}+\frac{-2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，∴ab≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=-2且b=-4時(shí)取等號(hào)，
∴△AOB的面積S=ab≥8，
∴△AOB面積的最小值為8，此時(shí)直線l的方程為$\frac{x}{-2}+\frac{y}{-4}$=1，
化為一般式方程可得2x+y+4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線的斜率公式，兩直線垂直的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查直線的截距式方程，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．