Question

已知點F（0，

1

2

），直線l：y=-

1

2

，點N為l上一動點，過N作直線l₁⊥l．l₂為NF的中垂線，l₁與l₂交于點M，點M的軌跡為曲線C
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若E為曲線C上一點，過點E作曲線C的切線交直線l于點Q，問在y軸上是否存在一定點，使得以EQ為直徑的圓過該點，如果存在，求出該點坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由條件知點M的軌跡是以l為準線、F為焦點的拋物線，其方程為x²=2y．
（Ⅱ）設E（x₀，y₀），則x02=2y0，切線方程為y-y₀=x₀（x-x₀），令y=-

1

2

，得Q（

x02-1

2x0

，-

1

2

），假設存在滿足條件的點H（0，t），則

OH

•

EH

=0，由此能求出存在滿足條件的點H（0，a）．

解答： 解：（Ⅰ）由條件知|MN|=|MF|，即點M到l的距離等于點M到點F的距離，
∴點M的軌跡是以l為準線、F為焦點的拋物線，
其方程為x²=2y．
（Ⅱ）設E（x₀，y₀），則x02=2y0，過點E的切線的斜率為k=y′|x=x0=x₀，
∴切線方程為y-y₀=x₀（x-x₀），
令y=-

1

2

，則-

1

2

-y₀=x₀（x-x₀），
得到x=

x02-1

2x0

，∴Q（

x02-1

2x0

，-

1

2

），
假設存在滿足條件的點H（0，t），則

OH

•

EH

=0，
即（

-x02+1

2x0

，t+

1

2

）（-x₀，t-y₀）
=

x02

2

-

1

2

+t2-ty0+

1

2

t-

1

2

y0
=y₀-

1

2

+t²-ty₀+

1

2

t-

1

2

y₀
=y₀-

1

2

+t²-ty₀+

1

2

t
=（

1

2

-t）y₀+t²+

1

2

t-

1

2

=0，
∵H點為定點，則需與E點無關，
∴

1 2 -t=0 t2+ 1 2 t- 1 2 =0

，解得t=0．
∴存在滿足條件的點H（0，

1

2

）．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．