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7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點O,兩焦點F1、F2在x軸上,上頂點B與F1、F2圍成一個正三角,且橢圓C經(jīng)過點(1,32).
(1)求橢圓C的離心率e和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過右焦點F2的直線l將△BF1F2平分成面積相等的兩部分,求直線l被橢圓C截得的弦長.

分析 (1)△BF1F2是正三角形,可求得2c=a,即可求得離心率e及b2=3c2,將(1,32)代入橢圓方程:x24c2+y23c2=1(c>0),即可求得c的值,寫出橢圓方程;
(2)求出B和F1的坐標(biāo)及BF1的斜率kBF1,求得直線l的方程直線方程及M和N的坐標(biāo),代入橢圓方程,求得關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理求得x1+x2,x1•x2表達(dá)式,即可求得丨MN丨.

解答 解:(1)由題意,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y22=1(a>b>0).
△BF1F2是正三角形,得F1F2=BF1=BF2,即2c=a,
∴e=ca=12.…(2分)
b2=a2-c2=(2c)2-c2=3c2,
∴橢圓方程為x24c2+y23c2=1(c>0).
又橢圓C經(jīng)過點(1,32),
14c2+943c2=1.解得c2=1.…(4分)
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.…(5分)
(2)由題可知,直線l過F2(1,0),且與BF1垂直.
∵B(0,3),F(xiàn)1(-1,0),
∴kBF1=3
于是k1=-33,直線l的方程為y=-33(x-1).…(7分)
設(shè)直線l與橢圓C交于M,N兩點,且M(x1,y1),N(x2,y2).
{x24+y23=1y=33x1消去y,可得13x2-8x-32=0.…(9分)
由韋達(dá)定理,x1+x2=813,x1•x2=-3213,…(10分)
丨MN丨=x1x22+y1y22=x1x22+[33x11+33x21]2,
=43x1x22,…(11分)
=43×x1+x224x1x2
=43×81324×3213,
=23×24313
=4813
∴丨MN丨=4813.…(13分)

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式,注意運(yùn)用代入法和中點坐標(biāo)公式,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用兩點的距離公式,屬于中檔題.

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