Question

9．點P（1，t）（t＞0）是橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上一點，A，B是該橢圓上異于點P的兩個點，且直線PA，PB的傾斜角分別為72°和108°，則直線AB的斜率為（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$
• B． tan18°
• C． $\frac{1}{2}$
• D． tan36°

Answer 1

分析 將P（1，t）代入橢圓方程，求得t值，設PB的直線方程為y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），與橢圓C聯(lián)立方程組，求出B點坐標；再設PA的直線方程為y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），與橢圓C聯(lián)立方程組，求出A點坐標，由此能求出直線AB的斜率．

解答 解：將P（1，t）（t＞0）代入橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
解得：t=$\frac{3}{2}$，則P（1，$\frac{3}{2}$），
設PB的直線方程為y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），將直線方程代入橢圓方程，
（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，
設A（x_A，y_A），則x_A+1=$\frac{8{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
x_A=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
y_A=k（x_A-1）+$\frac{3}{2}$=kx_A-k+$\frac{3}{2}$，
又直線PB與PA的傾斜角互補，在上式中以-k代k，
設B（x_B，y_B），
可得x_B=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
y_B=-k（x_A-1）+$\frac{3}{2}$=kx_B+k+$\frac{3}{2}$，
∴直線AB的斜率為k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{k（2-{x}_{A}-{x}_{B}）}{{x}_{B}-{x}_{A}}$，
=$\frac{k[2-（\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}+\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}）]}{\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題主要考查橢圓方程的求解以及直線斜率的計算，利用直線和橢圓方程的位置關系，利用設而不求的思想是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力，綜合性較強運算量較大，屬于中檔題．