如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,E、F分別為BD、PD的中點(diǎn),EA=EB=AB=1,PA=2.
(Ⅰ)證明:PB∥面AEF;
(Ⅱ)求面PBD與面AEF所成銳角的余弦值.
考點(diǎn):用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題:空間向量及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由題設(shè)條件推導(dǎo)出EF∥PB,由此能證明PB∥面AEF.
(Ⅱ)由題設(shè)條件推導(dǎo)出∠ABE=60°,∠ADE=∠DAE,從而得到BA⊥AD.分別以AB,AD,AP為x,y,z軸建立坐標(biāo)系,利用向量法能求出面PBD與面AEF所成銳角的余弦值.
解答: (本小題滿分12分)
(Ⅰ)證明:∵E、F分別為BD、PD的中點(diǎn),
∴EF∥PB…(2分)
∵EF?面AEF,PB?面AEF
∴PB∥面AEF…(4分)
(Ⅱ)解:∵EA=EB=AB=1
∴∠ABE=60°
又∵E為BD的中點(diǎn)
∴∠ADE=∠DAE
∴2(∠BAE+∠DAE)=180°
解得∠BAE+∠DAE=90°,∴BA⊥AD…(6分)
∵EA=EB=AB=1,∴AD=
3

分別以AB,AD,AP為x,y,z軸建立坐標(biāo)系
由題設(shè)條件知:B(1,0,0),D(0,
3
,0),P(0,0,2),F(xiàn)(0,
3
2
,1),E(
1
2
,
3
2
,0)

PB
=(1,0,-2),
PD
=(0,
3
,-2),
AE
=(
1
2
3
2
,0),
AF
=(0,
3
2
,1)
…(8分)
設(shè)
n1
=(x1,y1,z1)
n2
=(x2,y2,z2)
分別是面PBD與面AEF的法向量
x1-2z1=0
3
y1-2z1=0
,∴
n1
=(2,
2
3
3
,1)

3
2
y2+z2=0
1
2
x2+
3
2
y2=0
,∴
n2
=(-
3
,1,-
3
2
)
…(11分)
|cos?
n1
n2
>|=|
n1
n2
|
n1
||
n2
|
|=
11
19

∴面PBD與面AEF所成銳角的余弦值為
11
19
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

雙曲線
x2
4
-y2=1
的焦點(diǎn)到漸近線的距離為( 。
A、2
B、
2
C、1
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,AD=1,M為DC的中點(diǎn).將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求證:AD⊥BM;
(2)若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn),問(wèn)點(diǎn)E在何位置時(shí),二面角E-AM-D的余弦值為
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

數(shù)列{an}中,a1=t,a2=t2,其中t>0且t≠1,x=
t
是函數(shù)f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅰ)證明:數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)bn=anlogtan,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax+1+bx+1
ax+bx
,a>0,b>0,且a≠1,b≠1.
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a≠b時(shí),利用(1)中的結(jié)論,證明不等式:
2
1
a
+
1
b
ab
a+b
2
a2+b2
a+b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,點(diǎn)P在邊AB上,設(shè)
AP
PB
(λ>0),過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AC于E,作PF∥AC交BC于F.沿PE將△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC;沿PE將△BPF翻折成△B′PF,使平面B′PF⊥平面ABC.
(1)求證:B′C∥平面A′PE;
(2)是否存在正實(shí)數(shù)λ,使得二面角C-A′B′-P的大小為90°?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)m∈R,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量
a
=(mx,y+1)
,向量
b
=(x,y-1)
,
a
b
,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡為E.求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在長(zhǎng)方體中ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=2,點(diǎn)E是棱DD1的中點(diǎn),過(guò)A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角,又過(guò)A1、C1、E三點(diǎn)的平面再截去長(zhǎng)方體的另一個(gè)角得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1E
(1)若直線BC1與平面A1C1CA所成角的正弦值為
10
10
,求棱AA1的長(zhǎng).
(2)在(1)的前提下,求二面角E-A1C1-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)A(1,2)在拋物線Γ:y2=2px上.
(1)若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上,記三邊AB,BC,CA所在直線的斜率分別為k1,k2,k3,求
1
k1
-
1
k2
+
1
k3
的值;
(2)若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上,記四邊AB,BC,CD,DA所在直線的斜率分別為k1,k2,k3,k4,求
1
k1
-
1
k2
+
1
k3
-
1
k4
的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案